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数学是一切自然科学的基础。数学如此重要，但是很多人却缺乏数学训练，这得教育背锅。我们的教育理念，是基于一种难度测试，筛选制度。为什么呢？学习关键还是乐趣，趣味，而不是让人望而生畏，也不是劝退学生为目的。所以教育制度导致了数学不受欢迎。
如果我们的数学教育，并不是服务于筛选制度，重视教学中的趣味，给出学生相称的训练强度，估计会好很多。如果原原本本的，以兴趣为导向的数学，应该怎么实施？数学的趣味性在哪里？我觉得大概就是探究数学的原理，而不是着重数学的计算。
数学少不了计算训练，这是提升直觉的好方法。但是它绝对不是数学的底色。也许我们会做很多奇奇怪怪的计算，但是很少人知道这是什么原理，这有什么用。因为考试不考。因为不考，所以就不教，因为不知，所以麻木，终究变得毫无趣味性。
人性都有好奇心，有破解谜题的天然欲望，否则侦探片就没人看了。因此，理所当然，数学本来应该是一个最趣的游戏。
当然要把数学教材写得有趣是一件不容易的事。这得请专业人士，我自问是做不到的，本文只是我的数学笔记。
数学就是将一团浆糊的问题，分解为清晰的每一步，理所当然的计算步骤。
某种程度上，数学是将一个问题，变成了若干问题。把“简单”复杂化了，所以数学是愚钝的。但是因为分解后的每一个步骤，都是理所当然的小问题，这样就能让愚钝的人们可以通过有限的步骤，求解一个充满智慧的原始问题。
分享个笑话：一名数学家去应聘消防员
面试官：“街边一栋房子着火了怎么办？”
数学家讲了如何灭火。
消防员：“那房子没着火呢？”
数学家：把房子点着
项进行加减乘还是一个多项式，除则可能不是，因为除数不能为0。多项式可以拟合任意函数的近似。
$$ \sum_{i=1}^n c\cdot a_i \cdot [1 \pmod 2 = 0] \quad \text{（乘以条件）}\\ \begin{align} \sum_i^n 1 &= n \tag{1求和} \\ \sum_i c\cdot a_i &= c \cdot \sum_i a_i &\tag{交换律} \\ \sum_i (a_i + b_i) &= \sum_i a_i + \sum_i b_i &\tag{结合律}\\ \sum_i a_i &= \sum_{p(i)} a_{p(i)} &\tag{换元法}\\ \sum_i \sum_j a_{i,j} &= \sum_j \sum_i a_{i,j} \tag{多重交换} \\ \sum_{i\in I} \sum_{j \in J} a_{i,j} &= \sum_i \sum_j a_{i,j}[i\in I \wedge j \in J] \tag{条件组合} \end{align} $$
对多项式求和很容易转化为编程语言中的循环操作，所以上面理论也可以作为算法中循环的指导。
$a^n = b$ ：a 为底数，n 为指数，b 为幂，表示 n 个 a 相乘。类似乘法对加法的扩展，n 个 a 相加。
乘法的逆运算是除法，而幂的逆运算有两个，求底或求对数（指数）。这是因为和乘法中的数可以相互交换不同， $a^n$ 和 $n^a$ 是两个不同的数，也就是幂运算不符合交换律。
对数是一个查表操作，所以性能很高，一般用来降低算式的运算量。
运算规律：
化简算式：
$$\begin{align} y&={(x+1)^{1 \over 2}(x^2+1)^3(1-x) \over (x+2)^2 e^x} \ \ln y&={ {1\over 2}\ln(x+1) + 3\ln(x^2+1)+\ln(1-x) - 2\ln(x+2) - x\ln e} \
\end{align}$$
级数 $\sum_{i=1}^n a_i$ 是数列和。当 n 趋向于无穷 $\infty$ 时，级数趋向某个值，称为收敛，该值为极限，否则为发散（无穷或振荡）。当每项的绝对值收敛时，称为绝对收敛，该级数的项可以做到次序无关。
$\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n$ 幂级数 f(x)。幂级数可以对任意函数进行展开，根据展开项数得到近似原 函数。
$$\begin{align} a_n &= {1 \over n!}f^n(0) &x_0 = 0\\ f(x) &= \sum_{n=0}^\infty {1 \over n!} f^n(0)x^n \tag{麦克劳林} \\ a_n &= {1 \over n!}f^n(x_0) \\ f(x) &= \sum_{n=0}^\infty {1 \over n!}f^n(x_0)(x-x_0)^n \tag{泰勒} \end{align} $$
生成函数 $F(x) = \sum_{n=0}^\infty a_nk_n(x)$ 用于描述多项式，数列，甚至是递推关系和无穷求和。
生成函数是一个工具，它将数列映射到多项式中，从而可以让使用者灵活的对多项式部分或者数列部分分别进行研究分析。F(x)中的 x 参数用于构造特定前缀，并非用于计算，其值无意义。
其中 $k_n(x)$ 是核函数，有多种形式：
$$\begin{align} F(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n&= a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 +\cdots \tag{多项式}\\ F(x) = \sum_n x^n &= 1+x+x^2+\cdots \\ &= {1 \over 1 - x} \cdot[-1<x<1] \tag{常数 1 队列} \\ F(x) - xF(x) -x^2F(x) &= 1 + x + 2x^2 + 3x^3 + \cdots \\ &= {x \over 1-x-x^2} \tag{斐波那契数列} \\ F(x) = \sum_n (1+x)^n &= 1+x+x^2+2x^3+\cdots \tag{组合问题} \\ \end{align} $$
怎么构造生成函数，以斐波那契数列为例：
$$\begin{align} fib & = 0,1,1,2,3,5 \cdots \tag{斐波那契数列}\\ F(x) &= 0 + 1x + 1x^2 + 2x^3 + 3x^4 + 5x^5 + \cdots \tag{生成函数}\\ xF(x) &= 0 + 0x + 1x^2 + 1x^3 + 2x^4 + 3x^5 + \cdots\\ x^2F(x) &= 0 + 0x + 0x^2 + 1x^3 + 1x^4 + 2x^5 + \cdots\\ x &= F(x)(1-x-x^2)\\ F(x) &= {x \over 1-x-x^2} \end{align} $$
运算规则：
$$\begin{align} F(x) &= 1,2,3,4,\cdots \tag{原数列}\\ F(x)+F(x) &= 2,4,6,8, \cdots \tag{每项相加} \\ xF(x) &= 0,2,4,6, \cdots \tag{右移} \\ cF(x) &= 1c,2c,3c,4c,\cdots \tag{倍增} \\ [F(x)-f(0)]/x &= 2,3,4,5, \cdots \tag{左移}\\ F\prime(x) &= \text{数列乘幂次 + 左移} \\ &= 2,6,20,30,\cdots \tag{导数}\\ F(x)\cdot F(x)&= 1,4,10,20,\cdots \tag{相乘} \end{align} $$
无穷小的大小关系。
函数连续性判定（可导的基础）：
函数导数 $f \prime(x)$ 表示 $f(x)$ 函数的斜率（变化率）
运算技巧：根据积法则，常数系数（包括另一个函数），直接写，它是以当前未知数为中心的某一项的组成部分。其余部分分别应用以上规则。例：
$$2x^{1 \over 2}\sin x + 4x = x^{- {1 \over 2} }\sin x + 2x^{1 \over 2}\cos x + 4$$
指数对数导数：
导数极大值和极小值：
导数函数值为 0 时（或不存在时），该 x = a 点是原函数的临界点，可能是局部极大值或极小值（或中途点）。$f\prime\prime(a) < 0$ 为局部极大值，反之极小值，等 0 时需要判断一阶导数于 a 点两边变化情况。
最小值或者最大值也会出现在定义域的端点上。
解题步骤：
相关变化率：
隐函数 y(x) 的求导，等于对整个方程式求导，特别的 y' = dy/dx，因为 x 是 y 的相关变化率（related rates）。
$$\begin{align} y^2 + xy + 3x &= 9 \\ 2y{dy \over dx}+ 1y + x{dy \over dx} + 3 &= 0 \\ {dy \over dx} &= {-y - 3 \over 2y + x} \\ {dy \over dx}\left.\middle|_{(2,1)}\right. &= {-1-3 \over 2 + 2} \end{align}$$
对于相关变化率，要注意变化率是针对哪个自变量，如 dy/dx 是针对 x 这个变化率，但也可能有针对其他变量的变化率，所以使用 dy/dx 来代替 y' 这种不明确的写法。
介值定理：连续函数在 x0~x 之间存在 f(x0)~f(x)，则一定有 f(x0)f(x) 之间的 p 对应 x0x 之间的某个 c 。介值定理虽然无法判断 c 是哪个值，但是能够断定它的一定在区间内。
极限、连续、可导、可微的区别：
中值定理：连续可微函数 f(x) 在区间[a,b]存在点 c，使 $f'(c) = {f(b)-f(a) \over b-a}$ 。
不定积分：反导函数。
积分公式：
瞪眼法：
$$\begin{align} \int (2x+1)^4dx &= {(2x+1)^5 \over 5} \div (2x+1)\prime + C \\ &= {(2x+1)^5 \over 5 * 2} + C \end{align}$$
定积分：某区间的不定积分差值（原函数投影面积）。
f'(x) 的导数是切线，dy =f'(x)dx 是微分，一个小格子（单位变化量），对 dy 进行积分，即 ab 之间累加的 dy，即总变化量，等于 f(b) - f(a)， 即原函数 ab 的总变化量。即： $\int_a^b dy = f(b) - f(a)$。
上一步是对导数求积分，等于原函数之差。也就是说，给定一个函数 f(x)，希望求区间它的总变化量，等于求它反导函数 b~a 之差。$\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$，F 是反导函数（相当于上一步的原函数）。
兜兜转转，原来微积分最终的目的是这个：导数只是为了推导出积分要用的反导函数。为什么不直接累计 dy，因为 dy 很多时候并不是一个常量，它多数随着 x 变化而变化。
从图像上看就是被积分函数相对于 x 轴 a~b 点的投影面积。
定积分公式：
数值逼近法：对于无法使用反导函数积分的一些算法。
$$\begin{align} \int_a^b f(x)dx &\approx {b-a \over n}[f(x_0)+f(x_1)+\dotsc + (x_{n-1})] \tag{矩形法，黎曼和} \\ &\approx {b-a \over n}[f(x_1)+f(x_2)+\dotsc+(x_n)] \tag{矩形法右端点} \\ &\approx {b-a \over n}[ f({x_0+x_1 \over 2})+f({x_1+x_2 \over 2})+\dotsc+f({x_{n-1}+x_n \over 2}) ] \tag{中点法} \\ & \approx {b-a \over n}[{f(x_0) \over 2} + f(x_1)+\dotsc+f(x_{n-1})+{f(x_n)\over 2}] \tag{梯形法} \\ &\approx {b-a \over 3n}[f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+\dotsc+2f(x_{n-2})+4f(x{n-1})+f(x_n)] \tag{辛普森法} \end{align}$$
数值逼近法计算量大，是计算机用的算法。
-- lua 语言演示
riemann = function(f,a,b,n) -- 黎曼和（右端点）
local d = (b-a)/n -- dx
local s = 0 -- 积分
local dy = 0 -- 微分
for k=1,n do -- 循环计算 n 次
dy = f(a + k * d) * d -- 矩形面积
s = s + dy -- 累加
end
print("riemann = ",s) -- 打印结果
end
f = function(x) return x end -- 反导 x^2/2
a = 1
b = 2
n = 100 -- 在精度范围内，越大误差越小
riemann(f, a, b, n) -- 1.505 ，反导结果是 1.5
指数变化率： $N(t) = N_0e^{kt}$ , $N_0$ 是 N(0) 时的常量系数。
分部积分法： $\int uv'dx = uv - \int u'vdx = \int udv = uv - \int vdu$， 因为 $du = {du \over dx}dx = u'dx$, dv 也是类似。
三角代换法：用三角函数可以解决一些平方根积分问题。
部分分式积分法：先用长除法取得分母次数高于分子的化简分式。然后分母因式分解，分子为 A 和 B，分别乘以分母等于原分子，即可求出 A，B。最后用 $\int \left[A{1\over x_adx} + B{1 \over x_bdx}\right]= A\ln |x_a| + B\ln |x_b|+ C$ 即可求出积分。
$$p(0)\tag 1$$ $$\forall n,\exists n++ [p(n) \implies p(n++)]\tag 2$$ $$ \text{$1$,$2$} \iff p(n)$$
加法
二次函数：$f(x)=ax^2 + bx + c$
三角函数又称为圆函数。三角形内角 A 对边 a，斜边 c，邻边 b。正弦余弦是关于 c 的比值，正切正割关于 b，余切余割关于 a。
三角函数拥有奇怪的名字，但三角函数可以说是非常重要的一类函数，所以耐着性子学一下。单位圆半径 r，取伞形，圆心角对边弧做直线就是扇形的弦，做圆心到弦的垂直线，刚好得到半弦，这也是三角函数中的 a 边。sin A 即关于角 A 和对边 a 关系的函数，该关系是单位圆下的，而斜边 c 是 r，所以 a/c 得到单位圆下的比值。(注：图片引自参考文章)。
余 co 即剩下的非直角，此时正弦是 b 边，即余弦 cosin 即 b/c, 简称 cos。
正切是平行 a 边做圆的切线，该切线和角 A 构成扩大的相似三角形（如图）。正切 tan 等于 b 是单位圆 r 时的 a 边，所以 a/b。余切 cot = b/a
割线指的是扩大后的 c 边，即 sec = c/b。余割 csc = c/a。
集合在数学中是高度抽象的概念，它的原理对其他部分有着指导意义。
$$\begin{align} |A| &= \sum_{a\in A} 1 \tag{计数}\\ |A\cup B| &= |A| + |B| &A\cap B = \emptyset \tag{加法原理}\\ |A\cup B| &= |A| + |B| - |A\cap B| \tag{容斥原理}\\ \bigg|\bigcup_{i=1}^n A_i\bigg| &= \sum_{\emptyset \not ={I\subseteq[n]}}(-1)^{|I|+1}\bigg|\bigcap_{i\in I}A_i \bigg| \tag{容斥原理二} \end{align} $$
逻辑符号：
a -> b , b 是 a 的必要条件，因为 b 为真时， a 才可能为真。但不是充分条件，即不是 b 为真时， a 必然为真。
a -> b , a 是 b 的充分条件，因为 a 为真时， b 必然为真。但不是必要条件，a 为假时，b 也可能为真。
a <-> b ， 只有等价关系才是充分且必要的条件。
空头支票，当 a 永远是假时，b 就是一个空头支票，但你不能认为它在说谎，所以蕴含式为真。（如：太阳从西边升起，我就嫁给你）
向量是空间内有方向的边。
矩阵是线性方程组的计算工具。
方阵3 x 方阵2 x 方阵1 x 方程组系数和解
一次高斯消元（消除x）：-3 * 方程1 + 1 * 方程2 => 0x -2y = -4:
$$\begin{bmatrix} -3&1\\ \end{bmatrix}\times \begin{cases} 1x+2y=3\\ 3x+4y=5 \end{cases} = \begin{bmatrix} -3&-6&-9\\ +\\ 3&4&5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0&-2&-4\\ \end{bmatrix}\\ \text{即结果等A行*B列的和：}\\ \begin{bmatrix} -3&1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&2&3\\ 3&4&5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3\times 1 + 1 \times 3&-3\times 2 + 1 \times 4&-3\times 3 + 1 \times 5\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0&-2&-4\\ \end{bmatrix}\\ $$
完整的高斯消元：
$$ \begin{bmatrix} 1&-2\\ 0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&0\\ 0&-{1\over 2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&0\\ -3&1 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 1&2&3\\ 3&4&5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&0&-1\\ 0&1&2 \end{bmatrix} = \begin{cases} x = -1\\ y = 2 \end{cases} $$
解读：
$$\begin{bmatrix} -2&1\\ {3 \over 2}&-{1\over 2} \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 1&2&3\\ 3&4&5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&0&-1\\ 0&1&2 \end{bmatrix} \\ \text{其中} \begin{bmatrix} -2&1\\ {3 \over 2}&-{1\over 2} \end{bmatrix} \text{是} \begin{bmatrix} 1&2\\ 3&4 \end{bmatrix} \text{（记A）的逆，记：}A^{-1}\\ \begin{bmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{bmatrix} \text{是单位矩阵，记：I} \\ \begin{bmatrix} 1&2&1&0\\ 3&4&0&1 \end{bmatrix} \text{增广矩阵} \to \begin{bmatrix} 1&0&-2&1\\ 0&1&{3\over 2}&-{1\over 2} \end{bmatrix} $$
[AI]，然后运算变换将 A 部分转化为 I，即可得到 A 的逆：$[AI]\to [IA^{-1}]$f(x) 随着 x 变化函数值也均匀变化的函数。
$$\begin{align} \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix} \times 2 = \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 2\\ 0\\ 0 \end{bmatrix} \tag {多维度乘法} \\ \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix} \times x + \begin{bmatrix} 0\\ 1\\ 0\\ \end{bmatrix} \times y + \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1\\ \end{bmatrix} \times z &= \begin{bmatrix} x\\ y\\ z\\ \end{bmatrix} \tag{标准座标} \\ \begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\\ \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} x\\ y\\ z\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 0\\ \end{bmatrix} x + \begin{bmatrix} 0\\ 1\\ 0\\ \end{bmatrix} y + \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1\\ \end{bmatrix} z &= \begin{bmatrix} x\\ y\\ z\\ \end{bmatrix} \tag{线性变换}\\ \begin{bmatrix} A&\vec a\\ 0&1\\ \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} \vec v\\ 1\\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \vec v+\vec a\\ 1\\ \end{bmatrix} \tag{位移映射} \end{align} $$
线性变换（转换矩阵）：
线性变化等于将标准座标转换到特定座标上的变换，该变换结果将保持平行四边形（边和轴），即将单位 1 的正方形转换为对应平行四边形（在不坍塌的时）。且该操作可逆，即使用逆矩阵可复原。
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