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ylb 提交于 2024-02-21 08:52 . feat: add problem tags (#2361)

829. 连续整数求和

English Version

题目描述

给定一个正整数 n,返回 连续正整数满足所有数字之和为 n 的组数 。 

 

例 1:

输入: n = 5
输出: 2
解释: 5 = 2 + 3,共有两组连续整数([5],[2,3])求和后为 5。

示例 2:

输入: n = 9
输出: 3
解释: 9 = 4 + 5 = 2 + 3 + 4

示例 3:

输入: n = 15
输出: 4
解释: 15 = 8 + 7 = 4 + 5 + 6 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5

 

提示:

  • 1 <= n <= 109​​​​​​​

解法

方法一:数学推导

连续正整数构成一个等差数列($d=1$)。我们假设等差数列的第一项为 $a$,项数为 $k$,则 $n=(a+a+k-1)k/2$,即 $n2=(a*2+k-1)*k$ ①。

由于是连续正整数, $a>=1$,所以 ① 可以化为 $n2>=(k+1)k$,即 $k(k+1)<=n2$ ②。

因此,$k$ 的范围需要满足 $k>=1$ 并且 $k*(k+1)<=n2$。另外,我们从 ① 式可以发现,$k$ 必须能整除 $n2$。

综上,我们枚举 $k$,累加满足条件的 $k$ 的个数即可。

时间复杂度 $O(\sqrt{n})$。

class Solution:
    def consecutiveNumbersSum(self, n: int) -> int:
        n <<= 1
        ans, k = 0, 1
        while k * (k + 1) <= n:
            if n % k == 0 and (n // k + 1 - k) % 2 == 0:
                ans += 1
            k += 1
        return ans
class Solution {

    public int consecutiveNumbersSum(int n) {
        n <<= 1;
        int ans = 0;
        for (int k = 1; k * (k + 1) <= n; ++k) {
            if (n % k == 0 && (n / k + 1 - k) % 2 == 0) {
                ++ans;
            }
        }
        return ans;
    }
}
class Solution {
public:
    int consecutiveNumbersSum(int n) {
        n <<= 1;
        int ans = 0;
        for (int k = 1; k * (k + 1) <= n; ++k) {
            if (n % k == 0 && (n / k + 1 - k) % 2 == 0) {
                ++ans;
            }
        }
        return ans;
    }
};
func consecutiveNumbersSum(n int) int {
	n <<= 1
	ans := 0
	for k := 1; k*(k+1) <= n; k++ {
		if n%k == 0 && (n/k+1-k)%2 == 0 {
			ans++
		}
	}
	return ans
}
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