1639. 通过给定词典构造目标字符串的方案数

English Version

题目描述

给你一个字符串列表 words 和一个目标字符串 target 。words 中所有字符串都 长度相同 。

你的目标是使用给定的 words 字符串列表按照下述规则构造 target ：

从左到右依次构造 target 的每一个字符。
为了得到 target 第 i 个字符（下标从 0 开始），当 target[i] = words[j][k] 时，你可以使用 words 列表中第 j 个字符串的第 k 个字符。
一旦你使用了 words 中第 j 个字符串的第 k 个字符，你不能再使用 words 字符串列表中任意单词的第 x 个字符（x <= k）。也就是说，所有单词下标小于等于 k 的字符都不能再被使用。
请你重复此过程直到得到目标字符串 target 。

请注意，在构造目标字符串的过程中，你可以按照上述规定使用 words 列表中 同一个字符串 的 多个字符 。

请你返回使用 words 构造 target 的方案数。由于答案可能会很大，请对 10⁹ + 7 取余后返回。

（译者注：此题目求的是有多少个不同的 k 序列，详情请见示例。）

示例 1：

输入：words = ["acca","bbbb","caca"], target = "aba"
输出：6
解释：总共有 6 种方法构造目标串。
"aba" -> 下标为 0 ("acca")，下标为 1 ("bbbb")，下标为 3 ("caca")
"aba" -> 下标为 0 ("acca")，下标为 2 ("bbbb")，下标为 3 ("caca")
"aba" -> 下标为 0 ("acca")，下标为 1 ("bbbb")，下标为 3 ("acca")
"aba" -> 下标为 0 ("acca")，下标为 2 ("bbbb")，下标为 3 ("acca")
"aba" -> 下标为 1 ("caca")，下标为 2 ("bbbb")，下标为 3 ("acca")
"aba" -> 下标为 1 ("caca")，下标为 2 ("bbbb")，下标为 3 ("caca")

示例 2：

输入：words = ["abba","baab"], target = "bab"
输出：4
解释：总共有 4 种不同形成 target 的方法。
"bab" -> 下标为 0 ("baab")，下标为 1 ("baab")，下标为 2 ("abba")
"bab" -> 下标为 0 ("baab")，下标为 1 ("baab")，下标为 3 ("baab")
"bab" -> 下标为 0 ("baab")，下标为 2 ("baab")，下标为 3 ("baab")
"bab" -> 下标为 1 ("abba")，下标为 2 ("baab")，下标为 3 ("baab")

示例 3：

输入：words = ["abcd"], target = "abcd"
输出：1

示例 4：

输入：words = ["abab","baba","abba","baab"], target = "abba"
输出：16

提示：

1 <= words.length <= 1000
1 <= words[i].length <= 1000
words 中所有单词长度相同。
1 <= target.length <= 1000
words[i] 和 target 都仅包含小写英文字母。

解法

方法一：预处理 + 记忆化搜索

我们注意到，字符串数组 $words$ 中的每一个字符串长度都相同，不妨记为 $n$，那么我们可以预处理出一个二维数组 $cnt$，其中 $cnt[j][c]$ 表示字符串数组 $words$ 中第 $j$ 个位置的字符 $c$ 的数量。

接下来，我们设计一个函数 $dfs(i, j)$，表示构造 $target[i,..]$ 且当前从 $words$ 中选取的字符位置为 $j$ 的方案数。那么答案就是 $dfs(0, 0)$。

函数 $dfs(i, j)$ 的计算逻辑如下：

如果 $i \geq m$，说明 $target$ 中的所有字符都已经被选取，那么方案数为 $1$。
如果 $j \geq n$，说明 $words$ 中的所有字符都已经被选取，那么方案数为 $0$。
否则，我们可以不选择 $words$ 中的第 $j$ 个位置的字符，那么方案数为 $dfs(i, j + 1)$；或者我们选择 $words$ 中的第 $j$ 个位置的字符，那么方案数为 $dfs(i + 1, j + 1) \times cnt[j][target[i] - 'a']$。

最后，我们返回 $dfs(0, 0)$ 即可。注意答案的取模操作。

时间复杂度 $O(m \times n)$，空间复杂度 $O(m \times n)$。其中 $m$ 为字符串 $target$ 的长度，而 $n$ 为字符串数组 $words$ 中每个字符串的长度。

class Solution:
    def numWays(self, words: List[str], target: str) -> int:
        @cache
        def dfs(i: int, j: int) -> int:
            if i >= m:
                return 1
            if j >= n:
                return 0
            ans = dfs(i + 1, j + 1) * cnt[j][ord(target[i]) - ord('a')]
            ans = (ans + dfs(i, j + 1)) % mod
            return ans

        m, n = len(target), len(words[0])
        cnt = [[0] * 26 for _ in range(n)]
        for w in words:
            for j, c in enumerate(w):
                cnt[j][ord(c) - ord('a')] += 1
        mod = 10**9 + 7
        return dfs(0, 0)

class Solution {
    private int m;
    private int n;
    private String target;
    private Integer[][] f;
    private int[][] cnt;
    private final int mod = (int) 1e9 + 7;

    public int numWays(String[] words, String target) {
        m = target.length();
        n = words[0].length();
        f = new Integer[m][n];
        this.target = target;
        cnt = new int[n][26];
        for (var w : words) {
            for (int j = 0; j < n; ++j) {
                cnt[j][w.charAt(j) - 'a']++;
            }
        }
        return dfs(0, 0);
    }

    private int dfs(int i, int j) {
        if (i >= m) {
            return 1;
        }
        if (j >= n) {
            return 0;
        }
        if (f[i][j] != null) {
            return f[i][j];
        }
        long ans = dfs(i, j + 1);
        ans += 1L * dfs(i + 1, j + 1) * cnt[j][target.charAt(i) - 'a'];
        ans %= mod;
        return f[i][j] = (int) ans;
    }
}

class Solution {
public:
    int numWays(vector<string>& words, string target) {
        const int mod = 1e9 + 7;
        int m = target.size(), n = words[0].size();
        vector<vector<int>> cnt(n, vector<int>(26));
        for (auto& w : words) {
            for (int j = 0; j < n; ++j) {
                ++cnt[j][w[j] - 'a'];
            }
        }
        int f[m][n];
        memset(f, -1, sizeof(f));
        function<int(int, int)> dfs = [&](int i, int j) -> int {
            if (i >= m) {
                return 1;
            }
            if (j >= n) {
                return 0;
            }
            if (f[i][j] != -1) {
                return f[i][j];
            }
            int ans = dfs(i, j + 1);
            ans = (ans + 1LL * dfs(i + 1, j + 1) * cnt[j][target[i] - 'a']) % mod;
            return f[i][j] = ans;
        };
        return dfs(0, 0);
    }
};

func numWays(words []string, target string) int {
	m, n := len(target), len(words[0])
	f := make([][]int, m)
	cnt := make([][26]int, n)
	for _, w := range words {
		for j, c := range w {
			cnt[j][c-'a']++
		}
	}
	for i := range f {
		f[i] = make([]int, n)
		for j := range f[i] {
			f[i][j] = -1
		}
	}
	const mod = 1e9 + 7
	var dfs func(i, j int) int
	dfs = func(i, j int) int {
		if i >= m {
			return 1
		}
		if j >= n {
			return 0
		}
		if f[i][j] != -1 {
			return f[i][j]
		}
		ans := dfs(i, j+1)
		ans = (ans + dfs(i+1, j+1)*cnt[j][target[i]-'a']) % mod
		f[i][j] = ans
		return ans
	}
	return dfs(0, 0)
}

function numWays(words: string[], target: string): number {
    const m = target.length;
    const n = words[0].length;
    const f = new Array(m + 1).fill(0).map(() => new Array(n + 1).fill(0));
    const mod = 1e9 + 7;
    for (let j = 0; j <= n; ++j) {
        f[0][j] = 1;
    }
    const cnt = new Array(n).fill(0).map(() => new Array(26).fill(0));
    for (const w of words) {
        for (let j = 0; j < n; ++j) {
            ++cnt[j][w.charCodeAt(j) - 97];
        }
    }
    for (let i = 1; i <= m; ++i) {
        for (let j = 1; j <= n; ++j) {
            f[i][j] = f[i][j - 1] + f[i - 1][j - 1] * cnt[j - 1][target.charCodeAt(i - 1) - 97];
            f[i][j] %= mod;
        }
    }
    return f[m][n];
}

方法二：预处理 + 动态规划

与方法一类似，我们可以先预处理出一个二维数组 $cnt$，其中 $cnt[j][c]$ 表示字符串数组 $words$ 中第 $j$ 个位置的字符 $c$ 的数量。

接下来，我们定义 $f[i][j]$ 表示构造 $target$ 的前 $i$ 个字符，且当前是从 $words$ 中每个单词的前 $j$ 个字符中选取字符的方案数。那么答案就是 $f[m][n]$。初始时 $f[0][j] = 1$，其中 $0 \leq j \leq n$。

考虑 $f[i][j]$，其中 $i \gt 0$, $j \gt 0$。我们可以不选取 $words$ 中的第 $j$ 个位置的字符，那么方案数为 $f[i][j - 1]$；或者我们选择 $words$ 中的第 $j$ 个位置的字符，那么方案数为 $f[i - 1][j - 1] \times cnt[j - 1][target[i - 1] - 'a']$。最后，我们将这两种情况的方案数相加，即为 $f[i][j]$ 的值。

最后，我们返回 $f[m][n]$ 即可。注意答案的取模操作。

时间复杂度 $O(m \times n)$，空间复杂度 $O(m \times n)$。其中 $m$ 为字符串 $target$ 的长度，而 $n$ 为字符串数组 $words$ 中每个字符串的长度。

class Solution:
    def numWays(self, words: List[str], target: str) -> int:
        m, n = len(target), len(words[0])
        cnt = [[0] * 26 for _ in range(n)]
        for w in words:
            for j, c in enumerate(w):
                cnt[j][ord(c) - ord('a')] += 1
        mod = 10**9 + 7
        f = [[0] * (n + 1) for _ in range(m + 1)]
        f[0] = [1] * (n + 1)
        for i in range(1, m + 1):
            for j in range(1, n + 1):
                f[i][j] = (
                    f[i][j - 1]
                    + f[i - 1][j - 1] * cnt[j - 1][ord(target[i - 1]) - ord('a')]
                )
                f[i][j] %= mod
        return f[m][n]

class Solution {
    public int numWays(String[] words, String target) {
        int m = target.length();
        int n = words[0].length();
        final int mod = (int) 1e9 + 7;
        long[][] f = new long[m + 1][n + 1];
        Arrays.fill(f[0], 1);
        int[][] cnt = new int[n][26];
        for (var w : words) {
            for (int j = 0; j < n; ++j) {
                cnt[j][w.charAt(j) - 'a']++;
            }
        }
        for (int i = 1; i <= m; ++i) {
            for (int j = 1; j <= n; ++j) {
                f[i][j] = f[i][j - 1] + f[i - 1][j - 1] * cnt[j - 1][target.charAt(i - 1) - 'a'];
                f[i][j] %= mod;
            }
        }
        return (int) f[m][n];
    }
}

class Solution {
public:
    int numWays(vector<string>& words, string target) {
        int m = target.size(), n = words[0].size();
        const int mod = 1e9 + 7;
        long long f[m + 1][n + 1];
        memset(f, 0, sizeof(f));
        fill(f[0], f[0] + n + 1, 1);
        vector<vector<int>> cnt(n, vector<int>(26));
        for (auto& w : words) {
            for (int j = 0; j < n; ++j) {
                ++cnt[j][w[j] - 'a'];
            }
        }
        for (int i = 1; i <= m; ++i) {
            for (int j = 1; j <= n; ++j) {
                f[i][j] = f[i][j - 1] + f[i - 1][j - 1] * cnt[j - 1][target[i - 1] - 'a'];
                f[i][j] %= mod;
            }
        }
        return f[m][n];
    }
};

func numWays(words []string, target string) int {
	const mod = 1e9 + 7
	m, n := len(target), len(words[0])
	f := make([][]int, m+1)
	for i := range f {
		f[i] = make([]int, n+1)
	}
	for j := range f[0] {
		f[0][j] = 1
	}
	cnt := make([][26]int, n)
	for _, w := range words {
		for j, c := range w {
			cnt[j][c-'a']++
		}
	}
	for i := 1; i <= m; i++ {
		for j := 1; j <= n; j++ {
			f[i][j] = f[i][j-1] + f[i-1][j-1]*cnt[j-1][target[i-1]-'a']
			f[i][j] %= mod
		}
	}
	return f[m][n]
}

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