2492. 两个城市间路径的最小分数

题目描述

给你一个正整数 n ，表示总共有 n 个城市，城市从 1 到 n 编号。给你一个二维数组 roads ，其中 roads[i] = [a_i, b_i, distance_i] 表示城市 a_i 和 b_i 之间有一条双向道路，道路距离为 distance_i 。城市构成的图不一定是连通的。

两个城市之间一条路径的分数定义为这条路径中道路的最小距离。

城市 1 和城市 n 之间的所有路径的最小分数。

注意：

一条路径指的是两个城市之间的道路序列。
一条路径可以多次包含同一条道路，你也可以沿着路径多次到达城市 1 和城市 n 。
测试数据保证城市 1 和城市n 之间至少有一条路径。

示例 1：

输入：n = 4, roads = [[1,2,9],[2,3,6],[2,4,5],[1,4,7]]
输出：5
解释：城市 1 到城市 4 的路径中，分数最小的一条为：1 -> 2 -> 4 。这条路径的分数是 min(9,5) = 5 。
不存在分数更小的路径。

示例 2：

输入：n = 4, roads = [[1,2,2],[1,3,4],[3,4,7]]
输出：2
解释：城市 1 到城市 4 分数最小的路径是：1 -> 2 -> 1 -> 3 -> 4 。这条路径的分数是 min(2,2,4,7) = 2 。

提示：

2 <= n <= 10⁵
1 <= roads.length <= 10⁵
roads[i].length == 3
1 <= a_i, b_i <= n
a_i != b_i
1 <= distance_i <= 10⁴
不会有重复的边。
城市 1 和城市 n 之间至少有一条路径。

解法

方法一：DFS

根据题目描述，每条边可以经过多次，并且保证节点 $1$ 和节点 $n$ 在同一个连通块中。因此，题目实际上求的是节点 $1$ 所在的连通块的最小边。我们可以用 DFS，从节点 $1$ 开始搜索所有的边，找到最小的边即可。

时间复杂度 $O(n + m)$。其中 $n$ 和 $m$ 分别是节点数和边数。

class Solution:
    def minScore(self, n: int, roads: List[List[int]]) -> int:
        def dfs(i):
            nonlocal ans
            for j, d in g[i]:
                ans = min(ans, d)
                if not vis[j]:
                    vis[j] = True
                    dfs(j)

        g = defaultdict(list)
        for a, b, d in roads:
            g[a].append((b, d))
            g[b].append((a, d))
        vis = [False] * (n + 1)
        ans = inf
        dfs(1)
        return ans

class Solution {
    private List<int[]>[] g;
    private boolean[] vis;
    private int ans = 1 << 30;

    public int minScore(int n, int[][] roads) {
        g = new List[n];
        vis = new boolean[n];
        Arrays.setAll(g, k -> new ArrayList<>());
        for (var e : roads) {
            int a = e[0] - 1, b = e[1] - 1, d = e[2];
            g[a].add(new int[] {b, d});
            g[b].add(new int[] {a, d});
        }
        dfs(0);
        return ans;
    }

    private void dfs(int i) {
        for (var nxt : g[i]) {
            int j = nxt[0], d = nxt[1];
            ans = Math.min(ans, d);
            if (!vis[j]) {
                vis[j] = true;
                dfs(j);
            }
        }
    }
}

class Solution {
public:
    int minScore(int n, vector<vector<int>>& roads) {
        vector<vector<pair<int, int>>> g(n);
        bool vis[n];
        memset(vis, 0, sizeof vis);
        for (auto& e : roads) {
            int a = e[0] - 1, b = e[1] - 1, d = e[2];
            g[a].emplace_back(b, d);
            g[b].emplace_back(a, d);
        }
        int ans = INT_MAX;
        function<void(int)> dfs = [&](int i) {
            for (auto [j, d] : g[i]) {
                ans = min(ans, d);
                if (!vis[j]) {
                    vis[j] = true;
                    dfs(j);
                }
            }
        };
        dfs(0);
        return ans;
    }
};

func minScore(n int, roads [][]int) int {
	type pair struct{ i, v int }
	g := make([][]pair, n)
	for _, e := range roads {
		a, b, d := e[0]-1, e[1]-1, e[2]
		g[a] = append(g[a], pair{b, d})
		g[b] = append(g[b], pair{a, d})
	}
	vis := make([]bool, n)
	ans := 1 << 30
	var dfs func(int)
	dfs = func(i int) {
		for _, nxt := range g[i] {
			j, d := nxt.i, nxt.v
			ans = min(ans, d)
			if !vis[j] {
				vis[j] = true
				dfs(j)
			}
		}
	}
	dfs(0)
	return ans
}

function minScore(n: number, roads: number[][]): number {
    const vis = new Array(n + 1).fill(false);
    const g = Array.from({ length: n + 1 }, () => []);
    for (const [a, b, v] of roads) {
        g[a].push([b, v]);
        g[b].push([a, v]);
    }
    let ans = Infinity;
    const dfs = (i: number) => {
        if (vis[i]) {
            return;
        }
        vis[i] = true;
        for (const [j, v] of g[i]) {
            ans = Math.min(ans, v);
            dfs(j);
        }
    };
    dfs(1);
    return ans;
}

impl Solution {
    fn dfs(i: usize, mut ans: i32, g: &Vec<Vec<(usize, i32)>>, vis: &mut Vec<bool>) -> i32 {
        if vis[i] {
            return ans;
        }
        vis[i] = true;
        for (j, v) in g[i].iter() {
            ans = ans.min(*v.min(&Self::dfs(*j, ans, g, vis)));
        }
        ans
    }

    pub fn min_score(n: i32, roads: Vec<Vec<i32>>) -> i32 {
        let n = n as usize;
        let mut vis = vec![false; n + 1];
        let mut g = vec![Vec::new(); n + 1];
        for road in roads.iter() {
            let a = road[0] as usize;
            let b = road[1] as usize;
            let v = road[2];
            g[a].push((b, v));
            g[b].push((a, v));
        }
        Self::dfs(1, i32::MAX, &g, &mut vis)
    }
}

var minScore = function (n, roads) {
    // 构建点到点的映射表
    const graph = Array.from({ length: n + 1 }, () => new Map());
    for (let [u, v, w] of roads) {
        graph[u].set(v, w);
        graph[v].set(u, w);
    }

    // DFS
    const vis = new Array(n).fill(false);
    let ans = Infinity;
    var dfs = function (u) {
        vis[u] = true;
        for (const [v, w] of graph[u]) {
            ans = Math.min(ans, w);
            if (!vis[v]) dfs(v);
        }
    };
    dfs(1);

    return ans;
};

方法二：BFS

我们也可以用 BFS 来求解。

时间复杂度 $O(n + m)$。其中 $n$ 和 $m$ 分别是节点数和边数。

class Solution:
    def minScore(self, n: int, roads: List[List[int]]) -> int:
        g = defaultdict(list)
        for a, b, d in roads:
            g[a].append((b, d))
            g[b].append((a, d))
        vis = [False] * (n + 1)
        vis[1] = True
        ans = inf
        q = deque([1])
        while q:
            for _ in range(len(q)):
                i = q.popleft()
                for j, d in g[i]:
                    ans = min(ans, d)
                    if not vis[j]:
                        vis[j] = True
                        q.append(j)
        return ans

class Solution {
    public int minScore(int n, int[][] roads) {
        List<int[]>[] g = new List[n];
        boolean[] vis = new boolean[n];
        Arrays.setAll(g, k -> new ArrayList<>());
        for (var e : roads) {
            int a = e[0] - 1, b = e[1] - 1, d = e[2];
            g[a].add(new int[] {b, d});
            g[b].add(new int[] {a, d});
        }
        Deque<Integer> q = new ArrayDeque<>();
        q.offer(0);
        vis[0] = true;
        int ans = 1 << 30;
        while (!q.isEmpty()) {
            for (int k = q.size(); k > 0; --k) {
                int i = q.pollFirst();
                for (var nxt : g[i]) {
                    int j = nxt[0], d = nxt[1];
                    ans = Math.min(ans, d);
                    if (!vis[j]) {
                        vis[j] = true;
                        q.offer(j);
                    }
                }
            }
        }
        return ans;
    }
}

class Solution {
public:
    int minScore(int n, vector<vector<int>>& roads) {
        vector<vector<pair<int, int>>> g(n);
        bool vis[n];
        memset(vis, 0, sizeof vis);
        for (auto& e : roads) {
            int a = e[0] - 1, b = e[1] - 1, d = e[2];
            g[a].emplace_back(b, d);
            g[b].emplace_back(a, d);
        }
        int ans = INT_MAX;
        queue<int> q{{0}};
        vis[0] = true;
        while (!q.empty()) {
            for (int k = q.size(); k; --k) {
                int i = q.front();
                q.pop();
                for (auto [j, d] : g[i]) {
                    ans = min(ans, d);
                    if (!vis[j]) {
                        vis[j] = true;
                        q.push(j);
                    }
                }
            }
        }
        return ans;
    }
};

func minScore(n int, roads [][]int) int {
	type pair struct{ i, v int }
	g := make([][]pair, n)
	for _, e := range roads {
		a, b, d := e[0]-1, e[1]-1, e[2]
		g[a] = append(g[a], pair{b, d})
		g[b] = append(g[b], pair{a, d})
	}
	vis := make([]bool, n)
	ans := 1 << 30
	q := []int{0}
	vis[0] = true
	for len(q) > 0 {
		for k := len(q); k > 0; k-- {
			i := q[0]
			q = q[1:]
			for _, nxt := range g[i] {
				j, d := nxt.i, nxt.v
				ans = min(ans, d)
				if !vis[j] {
					vis[j] = true
					q = append(q, j)
				}
			}
		}
	}
	return ans
}

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