消元法解二元线性方程组,消去未知数 $x_{2}$
$$ \left{\begin{matrix} a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} = b_{1},\\ a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} = b_{2} \end{matrix}\right. $$ 当$a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\neq 0$时
$$
x_{1} = \frac{b_{1}a_{22}-a_{12}b_{2}}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}, \\
x_{2} = \frac{b_{2}a_{11}-a_{21}b_{1}}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}
$$
二行二列的二阶行列式,记作
$$ \begin{vmatrix} a_{11} \\ \\ a_{12}\\ a_{21} \\ \\ a_{22} \end{vmatrix} $$
$$ a_{ij}(i = 1,2;j = 1,2) $$
对角线法(仅适用于二阶和三阶行列式)
二阶行列式是主对角线上的两元素之积减去副对角线上两元素之积所得的差。
$$ \begin{vmatrix} a_{11} \\ \\ a_{12}\\ \\ a_{13}\\ a_{21} \\ \\ a_{22}\\ \\ a_{23}\\ a_{31} \\ \\ a_{32}\\ \\ a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32} -a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31} $$
例:
$$ \begin{vmatrix} 1& 2& -4\\ -2& 2& 1\\ -3& 4& -2 \end{vmatrix} $$
规定各元素之间有一个标准次序(比如从小到大为标准次序),在任一个排列中,当两个元素的先后次序与标准次序不同时,就说有1个逆序,一个排列中所有逆序的总数叫做 排列的逆序数。
逆序数为奇数的排列叫做奇排列
逆序数为偶数的排列叫做偶排列
设n个元素为1至n这n个自然数,规定从小到大为标准次序,假设排列,其中元素 $p_{i}(i=1,2,...,n)$
$$ p_{1}p_{2}\cdots p_{n} $$
如果比$p_{i}$ 大的且排在它前面的元素有$t_{i}$个,就说这个$p_{i}$元素逆序数是$t_{i}$,全体元素逆序数之和:
$$ t = t_{1} + t_{2} + \cdots + t_{n} = \sum_{t = 1}^{n}t_{i} $$
举例计算:
求32514的逆序数
答案:【5】
先来看三阶行列式:
$$ \begin{vmatrix}a_{11} \\ \\ a_{12}\\ \\ a_{13}\\ a_{21} \\ \\ a_{22}\\ \\ a_{23}\a_{31} \\ \\ a_{32}\\ \\ a_{33}\end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32} -a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31} $$ 等号右边不管正负号,可以写成 $a_{1p_{1}}a_{2p_{2}}a_{3p_{3}}$ ,第一个下标(行标)次序为123,第二个下标(列标)次序为 $p_{1}p_{2}p_{3}$
带正号列标排列:123,231,312【都是偶排列】
带负号列标排列:132,213,321【都是奇排列】
经过一番操作,t是列标排列的逆序数,三阶行列式可以写成:
$$ \begin{vmatrix} a_{11} \\ \\ a_{12}\\ \\ a_{13}\\ a_{21} \\ \\ a_{22}\\ \\ a_{23}\\ a_{31} \\ \\ a_{32}\\ \\ a_{33} \end{vmatrix}=\sum (-1)^{t}a_{1p_{1}}a_{2p_{2}}a_{3p_{3}} $$
$$ \sum (-1)^{t}a_{1p_{1}}a_{2p_{2}}\cdots a_{np_{n}} $$
记作:
$$ D = \begin{vmatrix} a_{11} &a_{12} &\cdots &a_{1n} \\ a_{21} &a_{22} &\cdots &a_{2n} \\ \vdots &\vdots & &\vdots \\ a_{n1} &a_{n2} &\cdots &a_{nn} \end{vmatrix} $$
证明n阶行列式
$$ \begin{vmatrix} \lambda _{1} & & & & \\ & &\lambda _{2} & \\ & & &\ddots & \\ & & & &\lambda _{n} \end{vmatrix}= \lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n} $$ 其中没有写出来的元素都是0,左端称为对角行列式
上下三角形行列式
主对角线以下(上)的元素都为0的行列式叫做上(下)三角形行列式,它的值与对角行列式一样
证明以下行列式
$$
D=\begin{vmatrix}
a_{11}& & & 0& \\
a_{21}&a_{22}& & & \\
\vdots & \vdots & \ddots & & \\
a_{n1}& a_{n2}& \cdots &a_{nn}
\end{vmatrix} = a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}
$$
定理1 一个排列中的任意两个元素对换,排列改变奇偶性
先证相邻对换:
原排列如下
$$ a_{1}...a_{l}abb_{1}...b_{m} $$ 对换ab
$$ a_{1}...a_{l}bab_{1}...b_{m} $$ 如果a<b,a的逆序数增加1,b的逆序数不变的,如果a>b,b的逆序数减少1,a的逆序数不变,因此奇偶性发生了改变。
再证任意对换:
设排列$a_{1}...a_{l}ab_{1}...b_{m}bc_{1}...c_{n}$,讲a和b进行对换,先做m次相邻对换变成,$a_{1}...a_{l}abb_{1}...b_{m}c_{1}...c_{n}$,b移动到a后,再做m+1次对换变成,$a_{1}...a_{l}bb_{1}...b_{m}ac_{1}...c_{n}$,完成a和b的对换,总共做了2m+1次相邻变换,所以变换前后两个排列的奇偶性相反。
定理2 n阶行列式也可定义为
其中t为行标排列 $p_{1}p_{2}...p_{n}$ 的逆序数
$$ D=\sum (-1)^{t}a_{p_{1}1}a_{p_{2}2}\cdots a_{p_{n}n} $$
转置行列式
$D^{T}$称为行列式$D$的转置行列式
$$
D=\begin{vmatrix}
a_{11}& a_{21} & \cdots & a_{n1} \\
a_{12}& a_{22}& \cdots & a_{n2} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{1n}& a_{2n}& \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix}
$$
$$
D^{T}=\begin{vmatrix}
a_{11}& a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix}
$$
证明:
记D的转置行列式为:
$$
D^{T}=\begin{vmatrix}
b_{11}& b_{12} & \cdots & b_{1n} \\
b_{21}& b_{22}& \cdots & b_{2n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
b_{n1}& b_{n2}& \cdots & b_{nn}
\end{vmatrix}
$$
$b_{ji}=a_{ij}(i,j = 1,2,...,n)$,按照定义:
$$ D^{T}=\sum (-1)^{t}b_{1p_{1}}b_{2p_{2}}\cdots b_{np_{n}}=\sum (-1)^{t}a_{p_{1}1}a_{p_{2}2}\cdots a_{p_{n}n} $$ 由定理2,$D=\sum (-1)^{t}a_{p_{1}1}a_{p_{2}2}\cdots a_{p_{n}n}$,因此$D=D^{T}$
通过这个性质可知,行列式的行和列地位相当,凡是行具有的性质,列也一样,反过来说也成立。
证明:
假设行列式$D_{1}$是由原行列式交换i,j两行得到的
$$
D_{1}=\begin{vmatrix}
b_{11}& b_{12} & \cdots & b_{1n} \\
b_{21}& b_{22}& \cdots & b_{2n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
b_{n1}& b_{n2}& \cdots & b_{nn}
\end{vmatrix}
$$
当$k\neq i,j$时,$ b_{kp} = a_{kp}$,当$k=i,j$时,$ b_{ip} = a_{jp}$,$b_{jp} = a_{ip}$,于是
$$ D_{1}=\sum (-1)^{t}b_{1p_{1}}...b_{ip_{i}}...b_{jp_{j}}...b_{np_{n}} $$
$$ =\sum (-1)^{t}a_{1p_{1}}...a_{jp_{i}}...a_{ip_{j}}...a_{np_{n}} $$
$$ =\sum (-1)^{t}a_{1p_{1}}...a_{ip_{j}}...a_{jp_{i}}...a_{np_{n}} $$
$1...i...j...n$为自然排列,t为$p_{1}...p_{i}...p_{j}...p_{n}$的逆序数,设$p_{1}...p_{j}...p_{i}...p_{n}$的逆序数为$t_{1}$,故$(-1)^{t} = -(-1)^{t_{1}}$
$$ D_{1}=-\sum (-1)^{t}b_{1p_{1}}...b_{ip_{i}}...b_{jp_{j}}...b_{np_{n}}=-D $$
因为这两行互换的结果是$D=-D$,所以$D=0$
推论 行列式的某一行(列)中所有的元素的公因子可以提到行列式记号的外面
$$ D = \begin{vmatrix} a_{11} &a_{12} &\cdots &(a_{1i}+a{}'{1i}) &a{1n} \\ a_{21} &a_{22} &\cdots &(a_{2i}+a{}'{2i}) &a{2n} \\ \vdots &\vdots & &\vdots &\vdots \\ a_{n1} &a_{n2} &\cdots &(a_{ni}+a{}'{ni}) &a{nn} \end{vmatrix} $$
则$D$等于下列两个行列式之和
$$ D = \begin{vmatrix} a_{11} &a_{12} &\cdots &a_{1i} &a_{1n} \\ a_{21} &a_{22} &\cdots &a_{2i} &a_{2n} \\ \vdots &\vdots & &\vdots &\vdots \\ a_{n1} &a_{n2} &\cdots &a_{ni} &a_{nn} \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} a_{11} &a_{12} &\cdots &a{}'{1i} &a{1n} \\ a_{21} &a_{22} &\cdots &a{}'{2i} &a{2n} \\ \vdots &\vdots & &\vdots &\vdots \\ a_{n1} &a_{n2} &\cdots &a{}'{ni} &a{nn} \end{vmatrix} $$
尝试计算一下:
$$ \begin{vmatrix} 3 & 1 & -1 & 2\\ -1 & 1& 3& -4\\ 2 & 0& 1& -1\\ 1 & -5& 3& -3 \end{vmatrix} $$
答案:【40】
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